Sappiamo che, per definizione: \[ \vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}\] \[ \vec{a}\ dt = d\vec{v} \]

Integriamo ora a destra e a sinistra:

\[ \int a\ dt = \int d\vec{v} \]

Per la proprietà fondamentale degli integrali, l'integrale di \(dt\) è proprio \(\Delta t\). Lo stesso discorso vale per delta v:

\[ \vec{a} \Delta t = \Delta \vec{v} \]

Dunque

\[ \vec{v_f} = \vec{v_i} + a\Delta t \]

Per il moto rettilineo uniforme, vale:

\[ \vec{X}(t) = \vec{X_0} + \vec{v}\Delta t\] \[ \vec{X}(t) = \vec{X_0} + \vec{v} \int_{0}^{t_f} dt \] \[ \vec{X}(t) = \vec{X_0} + \int_{0}^{t_f}\vec{v}dt \]

Sostituisco \(v\) con quanto risultato precedentemente:

\[ \vec{X}(t) = \vec{X_0} + \int_{0}^{t_f} (\vec{v_i} +a \Delta t) dt \] \[ \vec{X}(t) = \vec{X_0} + \int_{0}^{t_f}\vec{v_i} dt + \int_{0}^{t_f} a\Delta t dt \] \[ \vec{X}(t) = \vec{X_0} + \vec{v_i}\Delta t + \frac{1}{2}a\Delta t^2 \]

Una funzione f(x) si dice periodica con periodo T se \[ f(x+T) = f(x)\ \forall x \in D_f \]

Per quale T vale: \[ sin(\omega t + \phi) =?\ sin(\omega (T+t) +\phi)\] Assumiamo la fase nulla. Deve valere che \[ sin(\omega (T+t)) = sin(\omega t + 2 \pi) \] Questo si verifica se \[ \omega (T+t) = \omega t +2\pi \] \[ \omega T = 2 \pi \] \[ T = \frac{2 \pi}{\omega} \]

Possiamo derivare lo spazio per ottenere l'equazione della velocità: \[ v(t) = \omega A cos(\omega T + \phi) \] E deriviamo ulteriormente per ottenere l'accelerazione: \[ -w^2 A cos(\omega T + \phi) \]

Possiamo fare delle altre osservazioni, per esempio che il punto di velocità massima e' quando l'equazione dello spazio tocca lo zero, questo perché quando il seno e' 0, il suo coseno e' 1. L'accelerazione e' specchiata rispetto all'asse x allo spazio.

Osserviamo che l'equazione del moto armonico vista in precedenza e' la soluzione dell'equazione differenziale:

\[ \theta'' + \omega^2\theta = 0 \]

Questa osservazione ci e' molto utile per trovare \(w\) sia nel moto del pendolo che nel moto della molla.

In un moto circolare, e' utile identificare un punto nello spazio in funzione del raggio \(\rho\) e dell'angolo \(\phi\)

\[(x, y) \rightarrow (\rho, \phi)\]

Vale:

\[(\rho, \phi) = (\sqrt{x^2 + y^2},\ atan(\frac{x}{y}))\] \[(x, y) = (\rho\ cos(\phi), \rho \ sin(\phi))\]

per casa: calcolare velocità e accelerazione.

La velocità, per definizione, e' sempre tangente alla traiettoria, infatti descrive la direzione dello spostamento nel prossimo istante.

\[\frac{v_x}{v_y} = \frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dy}}=\frac{dx}{dy} = y'(x)\]

Sia \(\hat{u}_t\) il versore della tangente, posso scrivere:

\[\vec{v} = |\vec{v}| \hat{u}_t\]

Allo stesso modo l'accelerazione:

\[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(|\vec{v}|\hat{u}_t)=\frac{d|\vec{v}|}{dt}\hat{u}_t + |\vec{v}|\frac{d\vec{u}_t}{dt}\]

Vale:

\[\frac{d\hat{u}_t}{dt} = \frac{ \hat{u}_t' - \hat{u}_t}{dt}=\frac{d\phi}{dt}\hat{u}_{normale}\]

infatti, la differenza infinitesima tra le tangenti di due velocità vicine nel tempo, sara' il vettore perpendicolare alla velocità (per la regola dei parallelogrammi) anche detto vettore normale. E' molto semplice una dimostrazione grafica. Osserviamo che lo spazio tra due \(\phi\) molto vicini nel tempo può essere approssimato ad un arco di circonferenza di raggio \(r\) (anche se il percorso più in grande e' un circuito di formula 1), usando un sistema di riferimento che meglio approssima la circonferenza.

Vale anche:

\[\frac{d\phi}{dt} = \frac{d\phi}{dS} \frac{dS}{dt} = \frac{v}{r}\]

Avendo usato la formula per calcolare l'arco di circonferenza (che viene approssimato qua):

\[r\ d\phi=dS \rightarrow \frac{d\phi}{dS}=d\phi\]

Quindi riportando questo all'equazione dell'accelerazione:

\[\vec{a}=\frac{dv}{dt}\hat{u}_t + \frac{v^2}{r}\hat{u}_{normale}\]

Dunque abbiamo 3 vettori:

• accelerazione tangenziale \(\hat{v}_t\)
• accelerazione normale con verso \(\hat{u}_{normale}\)
• il raggio di curvatura \(r\)

Con velocita' costante, l'accelerazione normale dalla formula precedente diventa:

\[\hat{a}=\frac{v^2}{R}\hat{u}_n\]

Con accelerazione normale e velocita' costante, anche il raggio e' costante. Chiamiamo l'accelerazione normale come accelerazione centripeda. Definiamo la velocita' angolare come:

\[\omega =^{def} \frac{d\phi}{dt} =^{arco\ di\ circ.} \frac{v}{R}\]

Sia P un punto nella circonferenza di raggio R. Ricordando che il moto circolare e' la composizione di due moti armonici, vale:

\[ X_p = Rcos(\alpha) \] \[ Y_p = Rsin(\alpha) \]

Inoltre, dato che:

\[ \alpha = \omega t \]

Vale: \[ X_p = Rcos(\omega t) \] \[ Y_p = Rsin(\omega p) \]

Deriviamo ora lo spazio, trovando la velocità:

\[ v_{xp} = -\omega Rsin(\omega t) \]

\[ v_{yp} = \omega Rcos(\omega t) \] Derivando ancora troviamo l'accelerazione:

\[ a_{xp} = -\omega ^2 Rcos(\omega t) \] \[ a_{yp} = -\omega ^2Rsin(\omega t) \]

Osserviamo che possiamo sostituire \(R\ cos(wt)\) con \(X\), allo stesso modo \(Y\):

\[ a_{xp} = -\omega ^2X_p \] \[ a_{yp} = -\omega ^2Y_p \] Sommando ora le componenti:

\[ |\vec{a_p}| = \sqrt{a_{xp}^2 + a_{yp}^2} \] \[ |\vec{a_p}| = \sqrt{\omega ^4 X_p^2 + \omega ^4 Y_p^2} \] \[ \vec{a_p} = \omega ^2 \sqrt{X_p^2 + Y_p^2}\]

Concludiamo che:

\[ a = \omega ^ 2R \]