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Dinamica
La dinamica si occupa dello studio delle forze.
Statica
In statica, la risultante delle forze \(\vec{R}\) e' pari a \(0\). Si immagini un'oggetto su un piano in assenza di movimento. Il corpo e' soggetto all forza peso, che deve essere annullata da un'altra forza \(N\) detta reazione vincolare.
\[ \vec{R} = \vec{F}_p + \vec{N} = 0 \]
Quando ci si sposta da una condizione di equilibrio, si può generalizzare una certa forza di richiamo, anche detta forza elastica:
\[F_{richiamo} = -k \Delta S\]
- viene direttamente dalla terza legge della dinamica, esprimendo l'accelerazione come la doppia derivata dello spazio.
Leggi della dinamica
Prima legge della dinamica - Legge di inerzia
Un corpo permane nel suo stato di quiete e moto rettilineo uniforme finché non intervenga un agente esterno. Similmente, lo stato di moto di un corpo non varia se non per l'azione di un agente esterno.
- un sistema in cui questo principio vale e' detto sistema inerziale
Seconda legge della dinamica - Legge di Newton
Ricordando che, per definizione:
\[ a =^{def} \lim_{\Delta t \to 0 } \frac{\Delta v}{\Delta t} \]
In un sistema inerziale, vale:
\[ F = ma \]
Più precisamente, per il principio di sovrapposizione, vale che la forza risultante e':
\[ \vec{R}_c = \sum_{i = 0}^{N} \vec{F}_{i \rightarrow c} = m \sum_{i = 0}^{N} a_i = m \vec{a}_{tot} \]
attenzione: questi principi non si dimostrano, sono verità' della natura (a differenza dei teoremi).
- Questa forza e' l'agente esterno di cui parla il primo principio.
- La sua unita' di misura e' \(kgm/s^2\) o \(N\) (Newton).
- Excursus sulla massa
La massa della legge di newton e' detta massa inerziale. La massa serve per bilanciare il rapporto tra la forza e l'accelerazione, rappresenta la capacita' di un corpo di partecipare al moto. Questa e' la sua ragion d'esistere. In un corpo in caduta, vale che \(\vec{F} = m_{gravitazionale} \vec{a}\), da notare che qui si parla di massa gravitazionale. In altri contesti questa variabile viene chiamata in modo diverso (da vedere la sezione sulla legge di gravitazione universale). Solo sperimentalmente vale che il valore e' uguale alla massa inerziale, ma da un punto di vista puramente teorico e concettuale questa uguaglianza non e' ovvia.
Terza legge della dinamica - Principio di Azione Reazione
\[ \vec{F}_{1->2} = - \vec{F}_{2->1} \]
Nota: non è vero che allora le accelerazioni sono opposte (lo sarebbero solo con masse uguali).
- Esempio: Rinculo. Ad una forza al proiettile corrisponde la stessa forza sull'uomo che spara. Ma le accelerazioni sono diverse: il proiettile accelera molto mentre l'uomo meno.
Quantità di moto e impulso
Definiamo la quantità' di moto \(\vec{p}\) come:
\[\vec{p}=m\vec{v}\] Definiamo impulso \(\vec{J}\) come:
\[\vec{J} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = \Delta \vec{p} = m \Delta \vec{v}\]
Allora:
\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\]
questa ultima formula e' la forma più generale della legge di Newton.
Moto del pendolo
Supponiamo di avere un filo sospeso da un soffitto con una massa attaccata all'altra estremità'. Si assuma che valgano i seguenti punti:
- il vincolo tra il filo e il soffitto non presenta attrito
- il filo e' inestensibile, puntiforme (non ha fattori geometrici che oppongono resistenza all'aria) e senza massa
- la massa si trova nel vuoto (assenza di aria)
- ci troviamo in un campo di forze uniforme (ad esempio, la forza peso e' la stessa in ogni punto)
Velocità angolare del pendolo
Osserviamo che il pendolo compie un moto circolare, dunque ha un'accelerazione normale \(a_n = \frac{v^2}{R}\). Questa forza viene esercitata dal filo ed e' massima quando la velocità' e' massima e nulla quando la velocità' e' nulla (nel punto più' alto).
Vale:
\[ a_t = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2(S)}{dt^2} = \frac{d^2(L\theta)}{dt^2} =L\frac{d^2\theta}{dt^2} \]
Notiamo che l'accelerazione dipende da \(\theta\). Considerando un sistema di riferimento centrato della massa in movimento, con l'asse y positivo verso l'alto e l'asse x positivo verso la direzione di moto. Allora vale:
\[ a_t = g_{//} = -gsin(\theta) \]
Dunque, mettendoli a sistema:
\[ L\frac{d^2\theta}{dt^2} + gsin(\theta) = 0 \]
Anche scritta come:
\[\theta '' + \frac{g}{l}sin(\theta) = 0\]
Consideriamo ora una differenza di tempo infinitesimamente piccola (ipotesi delle piccole oscillazioni), possiamo applicare le serie di Taylor sul valore del seno, dunque:
\[ L\frac{d\theta^2}{dt^2}+g\theta = 0 \] \[ L\frac{d\theta^2}{dt^2}+g\theta \frac{L}{L} = 0 \] \[ \frac{d\theta^2}{dt^2}+\frac{g}{L} \theta = 0 \]
Osserviamo che questa si riconduce all'equazione differenziale del moto armonico già vista in precedenza \(\theta '' + \omega ^2 \theta =0\). Allora, in senso fisico, per questo moto, definiamo:
\[ \omega^2 =^{def} \frac{g}{L}\]
Per \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), vale:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]
Notiamo che:
> Se gli angoli sono piccoli, il periodo non dipende dall'ampiezza > dell'oscillazione
Forza elastica
Si consideri una molla, ancorata ad una parete stabile da un lato e con una massa dall'altro. Assumiamo non ci sia attrito, possiamo osservare che la massa e' completamente irrilevante in assenza di attrito. Come nel moto del pendolo, possiamo arrivare all'equazione fondamentale del moto armonico in questo modo:
\[ F= ma = m\frac{dv}{dt} = m\frac{dX^2}{dt^2} \]
E' un sistema lineare, possiamo dire che la forza e' proporzionale alla differenza di spostamento. Chiamiamo la costante di proporzionalità \(k\):
\[ F_{richiamo\ all\ equilibrio} = -kX \]
Il meno viene dal sistema di riferimento, con lo 0 posto sulla massa attaccata alla molla.
Mettendole a sistema otteniamo:
\[ m\frac{dX^2}{dt} + kX = 0 \] \[ \frac{dX^2}{dt} + \frac{k}{m}X = 0\]
Questa si rifa all'equazione armonica, ossia:
\[X+\omega ^2 x = 0\]
Che nel caso della molla vale, in senso fisico vale:
\[ \omega ^2 =^{def} \frac{k}{m} \]
Da \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) otteniamo:
\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
Attrito
L'attrito e' un fenomeno che dissipa energia in modo irreversibile. Tutti i macro oggetti hanno attrito (ecco perché non esistono macchine di movimento perpetuo).
\[ \vec{F_A} = \mu |\vec{N}| \hat a \]
Dove N è la forza normale o reazione vincolare, a è il versore che da la direzione tangente allo spostamento. Dall'analisi dimensionale vediamo che \(\mu\) e' un numero puro.
Caso statica
\[ \vec{F_{as}} = -\vec{F_{applicata}} \] \[ |\vec{F_{as}^{max}}| = \mu_{statico} |\vec{N}| \]
Caso dinamica
\[ |\vec{F_{ad}}| = -\mu_{dinamico}|\vec{N}|\hat{v} \]
Legge di gravitazione universale
La forza gravitazionale tra due masse a distanza r vale:
\[ \vec{F}_G = - G \frac{m_{G_1} m_{G_2}}{\vec{r}^2_{1-2}} \hat{r}_{1-2} \]
Dove \(\hat r\) è il versore della congiungente tra le due masse. La natura della massa nel secondo principio della dinamica rispetto all forza gravitazionale è fondamentalmente diversa. Nella seconda, la massa è una certa carica, una certa disponibilità, una qualità del corpo nel partecipare alla forza di gravitazione. Ci accorgiamo che questa formula è una "template" della natura, infatti:
\[ \vec{F}_{coulomb} = G_{elet} \frac{q_1 q_2}{\vec{r}_{1-2}^2}\hat{r}_{1-2}\]
Forza di gravita' sulla terra
Torniamo sulla forza gravitazionale, usando le prime due equazioni nei corpi C (corpo) e T (terra):
\[ m_{I_C}\vec{a} = -G\frac{m_{G_C} m_{G_T}}{\vec{r}_{ct}^2}\hat{r}_{ct} \] semplificando togliendo il verso:
\[ m_{I_C}a = G\frac{m_{G_C} m_{G_T}}{\vec{r}_{ct}^2} \]
Possiamo poi approssimare nel seguente modo: \[ r_{CT} = R_T + h = R(1+\frac{h}{R_T})\] \[ r_{CT}^2 \approx R_T^2(1+2\frac{h}{R_T}) \]
ho sviluppato il quadrato e ho trascurato l'ultimo termine perché è di un'ordine di grandezza molto piccolo:
\[ \frac{1}{r_{CT}^2} = \frac{1}{R_{CT}^2}(1-2\frac{h}{R_T}) \approx \frac{1}{R^2_{CT}} \]
Allora:
\[ a = \frac{m_{Gc}}{m_{Ic}}G\frac{m_{G_T}}{R_T^2} \] Per noi che siamo ignoranti e non dei fisici veri, \(m_g = m_i\), dunque:
\[ a = g = G\frac{m_{G_T}}{R_T^2} \] \[ G = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{Kg^2} \] \[ R_T = 6.74\cdot 10^6 m \]
Interessante il discorso filosofico tra la massa gravitazionale e la massa inerziale, che non sono le stesse ma in esperimento lo sono. La forza di gravitazione e' una delle quattro forze fondamentali, che non dipendono da altre e dunque sono leggi della natura. Qui il prof si masturba con idee filosofiche ed estetiche.
Centro di massa
Definizione del centro di massa come media pesata dei punti nello spazio in base alla massa:
\[\vec{X}_{CM} = \sum_{i=1}^N \frac{m_i}{M_{TOT}}\vec{x}_i\]
in modo simile, esiste la velocità nel centro di massa e l'accelerazione.
Dimostrazione: Sia \(\vec{R}\) l'insieme di tutte le forze che agiscono nel sistema:
\[ \vec{R}_i = m_i \vec{a}_i \] \[ \vec{R} = \sum_{i = 1}^{N} \vec{R}_i \]
Dividiamo le forze del sistema in due famiglie:
- forze interne
- forze esterne
\[ \vec{R}_i = \vec{R}_i^{Esterne} + \vec{R}_i^{Interne} \] \[ \vec{R}^{Esterne} = \sum_{k=1}^{M} \vec{R}_i^{Esterne} =^{def} \sum_{i=1}^{N} \sum_{k=1}^{M} \vec{F}_{k \rightarrow i}^{Esterne} \] \[ \vec{R}^{Interne} = \sum_{j=1, i \ne j}^{N} \vec{R}_i^{Interne} =^{def} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, i \ne j}^{N} \vec{F}_{j \rightarrow i}^{Interne} = 0 \]
Le forze interne, sommate, si annullano a vicenda (per la terza legge della dinamica). Dunque:
\[ \vec{R} = \vec{R}^{Interne} + \vec{R}^{Esterne} = \sum_{i=1}^{N} \vec{R}_i^{Esterne} = \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{a}_i \] \[ = \sum_{i=1}^{N} m_i \frac{d^2 \vec{X}_i}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2}[\sum_{i=1}^{N}m_i \vec{x}_i] \]
Definiamo il centro di massa come:
\[ \vec{X}_{C.M.} =^{def} \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{x}_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i} = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i}{M}\vec{x}_i \]
- \(M\) è la massa del sistema (somma di tutte le masse)
- in altre parole, la somma di masse per la distanze, diviso la somma delle masse
- sapendo la X del centro di massa, possiamo trovare la velocità e l'accelerazione semplicemente derivando:
\[ \vec{R}^{Esterne} = M\frac{d^2 \vec{X}_{cm}}{dt^2} = M \vec{a}_{cm} \]
- In un sistema isolato, le forze esterne sono nulle:
\[ \vec{R}^{Esterne} = 0 \]
Dunque l'accelerazione è 0, e la velocità è costante. Concludiamo che la quantità di moto si conserva. \[ \vec{p}_{cm} = \vec{cost} \]
Il sistema di riferimento
Anzitutto, assumiamo:
- nessuna rotazione dell'oggetto, solo translazioni
- nessuna rotazione dei sistema di riferimento
Un punto può essere rappresentato come un raggio-vettore che parte da un certo sistema di riferimento. Siano \(O\) e \(O'\) due sistemi di riferimento, possiamo descrivere il punto \(P\) come il vettore \(r\) e \(r'\). Ci interessano le equazioni per esprimere le leggi da un sistema all'altro. Se i due sistemi sono fermi tra loro, posso definirmi il vettore \(\vec{OO'}\). Allora vale (per la regola del parallelogramma):
\[ \vec{r} = \vec{OO'} +\vec{r'} \]
Se derivo l'equazione assumendo la distanza tra \(O\) e \(O'\) costante:
\[ \vec{v} = 0 + \vec{v'} \]
Chiamerò questa velocità come la velocità di trascinamento. Attenzione alla differenza tra le notazioni.
\[ \vec{v}_A \ne \vec{v}_{A'} \ne \vec{v}_A' \]
Se invece la distanza tra i sistemi di riferimento è variabile:
\[ \vec{v} = \vec{v}_{O'} + \vec{v'} \] \[ \vec{a} = \vec{a}_{O'} + \vec{a'} \]
Consideriamo il sistema come isolato e centrato nel centro di massa:
\[ \vec{r} = \vec{r}_{cm} + \vec{r}_{sistema\ cm} \] \[ \vec{p}_{cm} = \vec{cons} \]
Dunque la quantità di moto si conserva, anche se non è un sistema inerziale. Supponiamo di avere un sistema di riferimento S che viaggia in moto rettilineo uniforme con velocità v e un sistema S' che si muove in m. r. u. e con velocità v' Dalle formule precedenti, vale:
\[ \vec{v}' = \vec{v} - \vec{v}_{o'} \]
Questi sono sistemi di riferimento inerziali collegati, detta classe di sistemi di riferimento inerziali dove vale:
Principio di Relatività Galileiana
\[ \vec{x} = \vec{x}' + \vec{OO'} \] \[ \vec{v} = \vec{v}' + \vec{v}_{o'} \]
Questo principio mostra che le leggi della fisica funzionano in equal modo in un sistema di riferimento inerziale. Non esiste un sistema di riferimento giusto o sbagliato, sono tutti equivalenti.
- esempio del naviglio: non posso rendermi conto se dentro una nave sono fermo o mi sto muovendo con una certa velocità costante
Forze esterne ed apparenti
Se esco da un sistema di riferimento inerziale, cambiano le leggi della dinamica. Se io guardo un giubbotto e corro, o sono fermo, mi appare che il giubbotto abbia una certa accelerazione. Per un'accelerazione c'è bisogno di una forza ma il giubbotto è fermo. Dobbiamo distinguere due tipi di forze: quelle esterne e quelle apparenti
\[ \vec{F} = m\vec{a} \rightarrow^{S\rightarrow S'} \vec{F} = m(\vec{a}' + \vec{a}_{o'}) \] \[ \vec{F} = m\vec{a}' + m\vec{a}_{o'} \] \[ \vec{F}_{ext} + \vec{F}_{app} = m\vec{a}' \]
Questa è la formula generale della seconda legge della dinamica, valida anche per i sistemi di riferimento non inerziali.
> Esistono forze apparenti se esiste un'accelerazione tra i sistemi di > riferimento
Ogni forza esterna si può ricondurre a una delle 4 forze della natura
- Forza gravitazionale: la meno intenza di tutte, la prima ad essere stata scoperta
- Forza elettromagnetica
- Forza debole: responsabile del decadimento nucleare
- Forza forte / nucleare: tiene insieme la materia
Invece le forze apparenti sono effetto dell'accelerazione dell'osservatore.