Il lavoro della forza peso è:

\[ W_{A\rightarrow B} = mgh \]

Dimostriamo ora quanto sopra. Osservo che il lavoro totale è la somma do tutti i lavori nei vari momenti; con infiniti momenti sempre più piccoli posso utilizzare l'integrale.

\[ W_{A->B} = \int_A^B dW \]

• A e B sono due punti. \(dW\) e' il lavoro in un microspostamento

Si prenda come classico esempio una persona che va sul Bondone, concentrandoci sul \(dW\) dato dalla forza peso:

\[ dW = \vec{P} \cdot d\vec{r} = |\vec{P}| \cdot |d\vec{r}|cos(\theta)\]Osservo che \(|dr|cos(\theta)\) è la proiezione di \(dr\) su \(P\), che è la forza peso. Dato che la forza peso e' sempre verticale, l'unica componente dello spostamento che contribuisce al lavoro e' la componente verticale. La somma ti tutti gli spostamenti verticali è lo spostamento verticale totale \(h\): \[ W_{A->B} = \int_{A}^{B}\vec{P} \cdot d\vec{r} = \int_{A}^{B}mg * dh = mgh \]

Definiamo l'energia cinetica \(E_k\) come:

\[ E_K =^{def} \frac{1}{2}mv^2 \]

Vale:

\[ dW^{TOT} = dE_K\] \[ W_{i\to f}^{TOT} = E_{Kf} - E_{ki} \]

• Il lavoro totale è dato dalla risultante di tutte le forze.

Dimostriamo ora quanto detto sopra. Sia nota la seconda legge della dinamica, che può essere riscritta come:

\[ F=m\frac{d\vec{v}}{dt} \] Moltiplico a destra e a sinistra per il prodotto scalare dello spostamento otteniamo:

\[ F \cdot d\vec{s} = m \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot d\vec{s}\]

Sposto il \(dt\) (non ditelo ai matematici che si arrabbiano):

\[ dW = m d\vec{v}\cdot \frac{d\vec{s}}{dt} \]

La derivata dello spazio è la velocità, dunque:

\[ dW = m\vec{v}\cdot d\vec{v} \]

Espandiamo il prodotto scalare abbiamo:

\[ m \vec{v} \cdot d \vec{v} = m(\vec{v_x}d\vec{v_x} + \vec{v_y}d\vec{v_y} + ...) \]

Osservo che: \[ \int xdx = \int dy\ ,\ con\ y=\frac{x^2}{2} \longrightarrow \int d[\frac{x^2}{2}]\] \[ \vec{v_x}d\vec{v_x} = d[\frac{\vec{v_x}^2}{2}] \]

Dunque

\[ dW = m(d[\frac{\vec{v_x^2}}{2}] + d[\frac{\vec{v_y^2}}{2}] + ...) = md[\frac{\vec{v^2}}{2}] \] \[ dW = d[\frac{1}{2}mv^2] \]

Vale:

\[W_{F, i\rightarrow f}\vec{F} d\vec{s} = \int_i^f dW = \int_i^f \frac{1}{2} m d[v^2]\]

Dunque:

\[W_{F, i\rightarrow f} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\]

Definiamo:

\[ E_K =^{def} \ \frac{1}{2}mv^2 \]

Allora:

\[W_{F, i\rightarrow f} = \Delta E_k\]

Una forza è conservativa se vale almeno una delle seguenti proposizioni:

1. Qualunque sia il percorso, vale:

\[ W_{F, A\rightarrow A}^{Forze\ Cons.}= 0 \] Anche scritto come: \[\oint \vec{F} d\vec{s} = 0\]

1. Il lavoro della forza non di pende dal percorso, ma solo da i suoi estremi.
2. Esiste una primitiva U detta energia potenziale tale che

\[ W_{A\rightarrow B}^{F.C.} = -[U(\vec{x_B}) - U(\vec{x_A})] = - \Delta U_{A\rightarrow B} \]

Dimostriamo ora \((1) \rightarrow (2), (3)\). Assumiamo vera \((1)\), dunque vale:

\[ W_{A\rightarrow A}[\vec{F}] = \int_{A}^{A}\vec{F}\cdot d\vec{s} = 0 \]

Prendiamo ora un percorso chiuso, e due punti A e B in questo percorso. Vale:

\[ \int_{A}^{A}\vec{F}\cdot d\vec{s} = \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot \vec d{s} + \int_{B}^{A}\vec{F}\cdot d\vec{s} =^{hp} 0 \] Allora:

\[ \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot \vec d{s} = - \int_{B}^{A}\vec{F}\cdot d\vec{s} \]

Osserviamo che, i due percorsi A->B e B->A hanno lo stesso lavoro in valore assoluto: l'integrale nella curva è lo stesso, nonostante la scelta di andare verso destra o verso sinistra. Il lavoro totale che è dato dalla somma dei due sarà quindi indipendente dal percorso scelto (2)

Dimostriamo ora (3) assumendo (1) e (2). Si sappia che l'integrale è una funzione lineare, dunque per definizione è data dalla somma / differenza di polinomi. Andiamo ad analizzare le due casistiche:

\[ \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{s} = f(A, B) = c_AA+c_bB \] \[ \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{s} = f(A, B) = c_AA-c_bB \]

Osserviamo che il lavoro necessario per andare da A a B è diverso dal lavoro necessario per andare da B ad A, dunque, se prendessimo il primo polinomio, verrebbe:

\[ \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{s} = f(A, B) = c_AA+c_bB \] \[ \int_{B}^{A}\vec{F}\cdot d\vec{s} = f(B, A) = c_bB+c_AA \]

Osserviamo che:

\[ c_AA+c_BB = c_BB+c_AA \]

Ma questo andrebbe contro quello che è stato detto in precedenza. Prendendo, invece, in considerazione il secondo caso, vale:

\[ \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{s} = f(A, B) = c_AA-c_bB \] \[ \int_{B}^{A}\vec{F}\cdot d\vec{s} = f(B, A) = c_bB-c_AA \] \[ c_AA-c_BB \ne c_BB-c_AA \]

Dunque il lavoro può essere scritto nella seguente forma, con le dovute sostituzioni di variabili:

\[ W_{A->B} = c_AA-b_BB = -[ U(B) - U(A) ] \]

Banalmente si può dimostrare che vale anche \((2) \rightarrow (1)\), \((3) \rightarrow (2)\) etc.

Mostriamo ora una considerazione interessante. Dalla \((3)\) vale:

\[ -W_{A->B}^{Forze\ Cons.} = U(B) - U(A) = \Delta U_{A->B} \] \[ U(B) = U(A) + \Delta U_{A->B} \]

Notiamo che l'energia potenziale in un punto dipende (è in funzione di) un punto di riferimento A. Si prenda un punto di riferimento \(O\):

\[ \Delta U_{O->A} = U(A)-U(O) \] \[ \Delta U_{O->B} = U(B)-U(O) \] \[ \Delta U_{O->B} - \Delta U_{O->A}= U(B) - U(O) - U(A) + U(O) = U(B) - U(A) \]

La \(\Delta U\) non dipende dal punto di riferimento.

Sia noto:

\[(1)\ W_{i->f}^{tot} = \Delta E_{k_{i->f}} = E_{k_f} - E_{k_i} \] \[ (2)\ W_{i\rightarrow f}^{F.C.} = -\Delta U_{i\rightarrow f} = -(U_f - U_i) \]

• \((1)\) dal teorema delle forze vive
• \((2)\) dalla definizione di forze conservative

Inoltre vale che il lavoro totale in un sistema e' la somma del lavoro delle forze conservative e il lavoro delle forze non conservative:

\[ W_{i->f}^{Tot} = W_{i\rightarrow f}^{F.N.C.} + W_{i \rightarrow f}^{F.C.} \] \[ W_{i\rightarrow f}^{F.N.C.} = W_{i->f}^{Tot} - W_{i \rightarrow f}^{F.C.} = E_{k_f}-E_{k_i} + (U_f - U_i) = \Delta E_k + \Delta U\]

Definiamo l'energia meccanica come:

\[ E =^{def} U + E_k\]

Concludiamo:

\[ W_{i\rightarrow f}^{F.N.C.} = E_f - E_i\]

• Nel caso di assenza di forze non conservative, l'energia meccanica si conserva:

\[ E_f = E_i \] \[ \Delta E_k = -\Delta U \]

Definiamo potenza (media) come:

\[P=\frac{W}{\Delta t}\]

Allora:

\[P_{istantanea}=\frac{dW}{dt} [\frac{J}{S}] = \frac{\vec{F}*d\vec{s}}{dt} = \vec{F}*\vec{v} \]

Misuriamo la potenza in Watt dove 1 Watt e' 1 Joule in 1 secondo. A volte viene usata anche la caloria, che vale \(1 cal = 4,18 J\).

Assumiamo un sistema isolato e dunque inerziale, vale la terza legge della dinamica:

\[ \vec{F}_{1 \rightarrow 2} = -\vec{F}_{2 \rightarrow 1} \]

Possiamo esprimere questo usando la forza impulsiva vista in precedenza:

\[\frac{\vec{J}_{1\rightarrow 2}}{dt} = -\frac{\vec{J}_{2\rightarrow 1}}{dt}\] \[ \frac{d\vec{p}_2}{dt} = -\frac{d\vec{p}_1}{dt} \]

Da notare che nel precedente passaggio ho messo \(\vec{p_2}\) come la quantità di moto di \(\vec{J}_{1\rightarrow 2}\) infatti l'impulso appartiene al secondo oggetto, applicata dal primo. Continuando con i passaggi:

\[d\vec{p_2} = -d\vec{p_1}\] \[ d[\vec{p_2} + \vec{p_1}] = 0 \] \[ d\vec{p} = 0 \]

La differenza di quantità di moto del sistema è zero: la quantità di moto si conserva. Questa osservazione deriva direttamente dalla terza legge della dinamica, vale sempre in sistemi inerziali.

Con una formula più pratica:

\[ m_1\vec{v}_{1, i} + m_2\vec{v}_{2, i} = m_1\vec{v}_{2, f} + m_2 \vec{v}_{2, f} \]

E' da ricordare, inoltre, che nel centro di massa la quantità di moto si conserva.